高階常微分方程的結構
n 階線性微分方程的特徵在於其最高階導數。我們定義其一般形式為方程式（1）：
$$P_0(t) \frac{d^n y}{dt^n} + P_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + P_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + P_n(t)y = G(t)$$ （1）
為了便於理論分析，我們通常透過除以 $P_0(t)$ 來規範此方程，假設它在感興趣區間內非零。這會得到 標準形式 （方程式 2）：
$$L[y] = \frac{d^n y}{dt^n} + p_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + p_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + p_n(t)y = g(t)$$ （2）
算子符號與常係數
n 個導數的複雜性被整合進一個單一的線性算子 $L$。當係數為常數（$a_n$）時，該表達式簡化為：
$L[y] = a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y' + a_ny = g(t)$
這種符號強調 $L$ 的線性作用：$L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$。此原則確保通解由一個 齊次解 （$y_c$）和一個 特解 （$Y$）。
考慮 圖 4.2.4：一個雙彈簧、雙質點系統，具有質量 $m_1, m_2$ 及位移 $u_1, u_2$。物理學推導出兩個耦合的二階方程。透過代入法解出 $u_1$，我們可產生一個單一 四階 方程。要解這個方程，我們需要 四個初始條件 （每個質點的位置與速度）才能找到唯一的物理路徑。
範例：齊次解
求微分方程的通解：$y''' - y'' - y' + y = 0$
假設 $y = e^{rt}$。代入微分方程得：$r^3 - r^2 - r + 1 = 0$。
透過分組因式分解：$r^2(r - 1) - 1(r - 1) = 0 \implies (r^2 - 1)(r - 1) = 0$。
這展開為 $(r - 1)(r + 1)(r - 1) = (r - 1)^2(r + 1) = 0$。
根為 $r = 1$（重根為 2 次）和 $r = -1$。由於 $r=1$ 重複，我們需將第二項乘上 $t$。
$y_c(t) = c_1e^t + c_2te^t + c_3e^{-t}$